灘、開成の入試に頻出!? 図形に潜む「フィボナッチ数列」の問題

算数が苦手な子ほど「解法を覚える」「量をこなす」といった学習法に頼りがちですが、算数の学習は「知識を身に付けたうえで、活用法を知る」ことが重要です。ここでは、超難関校の受験に頻出する単元の、効果的な学習法を解説します。※本連載は、中学受験専門塾ジーニアスの松本亘正氏と教誓健司氏の著書『合格する算数の授業 数の性質編』(実務教育出版)より一部を抜粋・再編集したものです。

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中学受験では、灘、開成、麻布といった超難関校ほど「数の性質」の単元が入試に多く出る傾向があります。この単元は、「わかる」と「正解する」のギャップが大きくなりやすいため、注意が必要です。難関校合格のために不可欠な単元の学習方法を紹介します。

人間が美しさを感じる「黄金比」

さて、下の図のように、長方形から正方形を切り取ると、もとの長方形と同じ形(相似)になる長方形があるとします。

 

 

 

このような長方形の縦と横の長さの比を、「黄金比」と言います。簡単な整数の比で表すことはできませんが、短いほうの辺の長さを1とすると、「1:1.61803…」となります。

 

黄金比は、およそ「1:1.618」とされることが多いのです。これは人間が美しさを感じる比率と言われていて、美術品や建物の中に多く見出すことができます。古代ギリシアの時代に建てられたパルテノン神殿が、その一例として有名です。

 

連続するフィボナッチ数の関係は、黄金比に近づく

じつは、前回の記事(灘、開成に入る子なら解ける「フィボナッチ数列」の問題とは?)に掲載していた例題のように正方形をたくさん描いていくと、全体の長方形の縦と横の長さの関係が「黄金比」に近づいていくことが知られています。

 

本当に黄金比に近づいていくのか、さっそく計算してみましょう。フィボナッチ数列について、次の数が前の数の何倍になっているのかを計算すればいいですね。

順番に割り算してみると、次のようになります。

 

 

このように、少しずつ黄金比に近づいていくのです。この法則を知ると、きっとフィボナッチ数列を見るたびに「美しい」と感じるようになっていくはずですよ。

フィボナッチ数列の総まとめ

●1番目の数を1、2番目の数を1として、

 3番目の数=1番目の数+2番目の数=1+1=2

 4番目の数=2番目の数+3番目の数=1+2=3

 

というように前の2つの数を足した数を並べたものを「フィボナッチ数列」と言う

 

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…

 

●フィボナッチ数列に登場する数を「フィボナッチ数」と言う

 

●フィボナッチ数は、自然界でも多く確認することができる数

 

●連続する2つのフィボナッチ数の関係は、「黄金比」(およそ1:1.618)に近づいていく

① は、一度に1段または2段で階段をのぼる方法の計算問題

②は、1辺の長さが1の正方形を2つ並べて長方形をつくり、そのすぐ下、そのすぐ右へと、順番に接する正方形を並べていく時の正方形の1辺の長さの計算問題

 

 

●フィボナッチ数列のように、前の数を組み合わせて次の数が決まるような問題を解く時には、まずは小さい数で計算をしながら規則を見つけて、その規則を使って大きな数の計算をしていくのがポイント

 

 

松本 亘正
中学受験専門塾ジーニアス 代表

教誓 健司
中学受験専門塾ジーニアス 講師

 

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中学受験専門塾ジーニアス 運営会社代表 

慶應義塾大学在学中に中学受験専門塾ジーニアスを開校し、運営会社の代表に就任。現在は東京・神奈川の6地区に校舎がある。

ジーニアスはハイレベルな少人数制指導塾として、1学年200人強から開成、麻布などの御三家各校、筑波大附属駒場、慶應中等部、早稲田実業、渋谷教育学園渋谷、ラ・サールなど超難関校に例年合格者を多数輩出しており、募集時には毎年満席になる校舎もある。また、家庭教師のトライの映像授業「Try IT」の社会科を担当し、高校受験生からの支持も厚い。

おもな著書に『合格する算数の授業 図形編・数の性質編』『合格する地理の授業 47都道府県編・日本の産業編』(実務教育出版)があり、ほめて伸ばすだけをよしとしない、タイプ別に子どもへの対応方法を変えるなど独自の子育て論にも注目が集まっている。

著者紹介

1988年広島県生まれ。広島学院中学高校へ進学するにあたり、お世話になった塾の先生の影響で算数を好きになる。大学在学中は四谷大塚の学生講師として算数と理科の授業を3年間担当し、その後中学受験専門塾ジーニアスに移籍。ゲーム好きで、ゲームの攻略に関する仕事をしていたことも。

YouTube チャンネル「0時間目のジーニアス」で算数の入試問題解説動画を公開するなど、映像授業でも活躍中。主な著書に『合格する算数の授業 図形編』がある。

著者紹介

連載最新の中学受験問題…合格する算数「数の性質編」

合格する算数の授業 数の性質編

合格する算数の授業 数の性質編

松本 亘正 教誓 健司

実務教育出版

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