正多面体に興味がわく…お互いピッタリとはまる凄い性質とは?

難関中学の受験算数に登場する図形問題はかなり複雑で、挫折してしまう子も少なくありません。しかし、正しいアプローチや手順を整理すれば、どんな図形問題にも立ち向かえる力を養うことができます。ここでは、超難関校の受験に頻出する図形について、効果的な学習法を解説します。※本連載は、中学受験専門塾ジーニアスの松本亘正氏と教誓健司氏の著書『合格する算数の授業 図形編』(実務教育出版)より一部を抜粋・再編集したものです。

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中学受験では、灘、開成、麻布といった超難関校ほど「図形」の単元が入試に多く出る傾向があります。この単元は、「わかる」と「正解する」のギャップが大きくなりやすいため、注意が必要です。難関校合格のために不可欠な単元の学習方法を紹介します。

正四面体の性質…頂点、辺、面の数は?

前回の記事(難関中学入試…大人も頭を抱える「正多面体は何種類?」の答え)で、正多面体は全部で5種類ということがわかりました。ここでは、それぞれの性質を確認していきましょう。

 

 

まずは、正四面体の頂点の数、辺の数、面の数を確認してみましょう。これは簡単に数えることができます。

 

立方体と正八面体の特別な関係

続いて、立方体と正八面体についても数えてみましょう。

 

 
 

立方体と正八面体の数字を比べて何か気づきませんか? 辺の数が同じで、頂点の数と面の数がちょうど入れ替わっていますね。これは偶然ではありません。立方体と正八面体には、特別な関係があります。そのため、頂点と面の数が入れ替わる関係になっているのです。

 

 

立方体の各面の真ん中を結ぶと正八面体ができ、正八面体の各面の真ん中を結ぶと立方体ができます。

正十二面体の頂点・辺・面の数

正十二面体についても確認してみましょう。数が多くなってきたので、計算で求めてみます。

 

 

正十二面体なので、面の数が12枚なのはわかっています。すべての面をバラバラにして、組み立てていく様子をイメージしましょう。

 

正五角形が12枚あるので、バラバラにすると、

頂点の数は、5×12=60個あり、

辺の数も、5×12=60本あることになります。

 

ここで、バラバラの面を立体に組み立てていくと、3つの頂点が重なって正十二面体の1つの頂点になっていることがわかります。

 

よって、頂点の数は、60÷3=20個と求められます。

 

また、2つの辺が重なって正十二面体の1つの辺になっていることがわかります。同様に、辺の数は、60÷2=30本と求められます。

正二十面体の頂点・辺・面の数

正二十面体についても、同じように計算してみましょう。

 

 

5枚の正三角形が重なって、正二十面体の1つの頂点になっているので、頂点の数は、(3×20)÷5=12個。

 

2本の辺が重なって、正二十面体の1つの辺になっているので、辺の数は、(3×20)÷2=30本になります。

正十二面体と正二十面体の性質と関係性

わかってきましたか? 正十二面体と正二十面体について、まとめておきます。

 

 

このようにまとめると、何か気づくことはありませんか? 立方体と正八面体の時と同じように、辺の数が同じで、頂点の数と面の数が入れ替わっています。

 

正十二面体と正二十面体の関係も、立方体と正八面体の関係と同じで、お互いに中にピッタリとはまるようになっているのです。

 

 

それぞれの性質や関係性がわかると、正多面体に興味がわいてきませんか?

 

 

松本 亘正
中学受験専門塾ジーニアス 代表

教誓 健司
中学受験専門塾ジーニアス 講師

 

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中学受験専門塾ジーニアス 運営会社代表 

慶應義塾大学在学中に中学受験専門塾ジーニアスを開校し、運営会社の代表に就任。現在は東京・神奈川の6地区に校舎がある。

ジーニアスはハイレベルな少人数制指導塾として、1学年200人強から開成、麻布などの御三家各校、筑波大附属駒場、慶應中等部、早稲田実業、渋谷教育学園渋谷、ラ・サールなど超難関校に例年合格者を多数輩出しており、募集時には毎年満席になる校舎もある。また、家庭教師のトライの映像授業「Try IT」の社会科を担当し、高校受験生からの支持も厚い。

おもな著書に『合格する算数の授業 図形編・数の性質編』『合格する地理の授業 47都道府県編・日本の産業編』(実務教育出版)があり、ほめて伸ばすだけをよしとしない、タイプ別に子どもへの対応方法を変えるなど独自の子育て論にも注目が集まっている。

著者紹介

1988年広島県生まれ。広島学院中学高校へ進学するにあたり、お世話になった塾の先生の影響で算数を好きになる。大学在学中は四谷大塚の学生講師として算数と理科の授業を3年間担当し、その後中学受験専門塾ジーニアスに移籍。ゲーム好きで、ゲームの攻略に関する仕事をしていたことも。

YouTube チャンネル「0時間目のジーニアス」で算数の入試問題解説動画を公開するなど、映像授業でも活躍中。主な著書に『合格する算数の授業 図形編』がある。

著者紹介

連載最新の中学受験問題…合格する算数「図形編」

合格する算数の授業 図形編

合格する算数の授業 図形編

松本 亘正 教誓 健司

実務教育出版

毎年、多数の合格者を輩出する中学受験専門塾ジーニアスの授業を再現!先生とまなぶ君のやりとりを通して、中学入試「算数・図形」の押さえどころが、おもしろいほど身につく。 中高生の勉強や、大人の学び直しにも最適! …

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