難関中学入試…大人も頭を抱える「正多面体は何種類?」の答え

難関中学の受験算数に登場する図形問題はかなり複雑で、挫折してしまう子も少なくありません。しかし、正しいアプローチや手順を整理すれば、どんな図形問題にも立ち向かえる力を養うことができます。ここでは、超難関校の受験に頻出する図形について、効果的な学習法を解説します。※本連載は、中学受験専門塾ジーニアスの松本亘正氏と教誓健司氏の著書『合格する算数の授業 図形編』(実務教育出版)より一部を抜粋・再編集したものです。

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中学受験では、灘、開成、麻布といった超難関校ほど「図形」の単元が入試に多く出る傾向があります。この単元は、「わかる」と「正解する」のギャップが大きくなりやすいため、注意が必要です。難関校合格のために不可欠な単元の学習方法を紹介します。

【登場人物】

教誓先生:読み方は「きょうせいせんせい」。名は体を表すのか、教えることが大好き。幼い頃から約数の多い数は「よい」数だと感じていたが、あまり共感を得られないらしい。出題者の意図をくんで解くことを心掛けている。

まなぶ君:算数は好きだけど、勉強は嫌いで、できればラクしたいと思っている小学5年生。6年生になったら中学受験をするので塾に通っている。たまにめんどくさがり屋の一面をのぞかせる。

 

教誓先生:今日の授業では、サッカーボールを使います。

 

まなぶ君:えっ!? 体育の授業ですか? やったー!

 

教誓先生:サッカーボールを見てください。この形から何か気づくことはありますか?

 

まなぶ君:あれっ!? よく見ると、サッカーボールって球体ではないんだ! 球に似ているけど、ちょっと違うなぁ。

 

教誓先生:そうですね。もっと具体的に答えてみてください。

 

まなぶ君:正六角形と正五角形があります。それを組み合わせているのかな。

 

教誓先生:その通り! 身近なものにも算数が隠れているんです。

 

まなぶ君:な〜んだ…。やっぱり算数の授業なのかぁ…。

 

教誓先生:さて、どうしてこういう形になっているのでしょうか?

 

まなぶ君:球体に近いけど、球体じゃない…。ん〜難しいなぁ…。球体のほうがいいと思うんだけどなぁ…。

 

教誓先生:そうですね。ただ、昔は革をつないでつくっていたので、きれいな球体にするのが難しかったのでしょう。そこで、同じ形を組み合わせることで球体に近いものを考えたのです。

 

まなぶ君:へぇ〜。でも、どうして同じ形にしなかったんだろう。正六角形と正五角形と組み合わせずに、同じ形でつくればよかったのに。

 

教誓先生:それはとてもいい疑問です。重要なのは、疑問を持ち続けること。今日は、美しい多面体の勉強をするのですが、同じ形でできた立体と言えば、何を思いつきますか?

 

まなぶ君:まず立方体かな。それから、正四面体。正三角形4枚でつくられるものですよね。

 

教誓先生:そうです。いいですね。でも、それではサッカーボールになりません。立方体を蹴けっていたらサッカーになりませんよね。

 

まなぶ君:ん〜そうだ! 正八面体があった!

 

教誓先生:はい、また1つ思いつきましたね。でも、正八面体を蹴(け)るサッカーをイメージできますか?

 

まなぶ君:う〜ん…。じゃあ正百面体! それならサッカーもできそうです!

 

教誓先生:まなぶ君…。果たして、そんな立体はつくれますかね…。では、勉強を始めていきましょう。

正多面体はたったの5種類しかない!?

正多面体は、次の2つの条件を満たす、へこみのない立体のことを言います。

 

条件①すべての面が等しい正多角形でできている

条件②すべての頂点に集まる面の数が等しい

 

上の2つの条件を満たす図形は、全部で5種類あります。

 

これまでに登場した正四面体、立方体、正八面体の3種類に加え、正十二面体、正二十面体の2種類です。

 

 

 

正四面体、正八面体、正二十面体は各面が正三角形で、立方体は正方形で、正十二面体は正五角形でできていますね。

 

正多面体が5種類しかないことは、意外かもしれませんね。でも、面の形で分類すると簡単に説明できるのです。

正三角形の枚数を6枚にしてみると…

まずは、正三角形でできた正多面体を考えます。

 

正三角形を集めて立体の頂点をつくることを想像してください。正三角形を3枚集めると、とがった頂点をつくれますよね。そして、正三角形の枚数を4枚、5枚と増やしていくと、少しずつなだらかな頂点へと変化していきます。

 

では、正三角形を6枚にしたらどうでしょう?

 

 

 

そうですね。平面になってしまい、頂点をつくることはできません。正三角形の1つの内角の大きさである60°が6つ集まると、60×6=360°になります。

 

「正三角形は平面を敷(し)き詰(つ)めることができる図形だ」ということは基本ですが、平面になるということは、頂点をつくることができないということなのです。

正三角を使った正多面体は3種類だけ

正三角形を1つの頂点に3枚集めると正四面体、4枚集めると正八面体、5枚集めると正二十面体ができます。

 

これで、正三角形を使った正多面体はこの3種類しかないことがわかりました。

正方形からできる多角形は立方体の1種類

正三角形以外の正多角形についても確認しましょう。

 

正方形は1つの内角の大きさが90°です。正方形3枚なら、90×3= 270°となり、360°より小さいので立体の頂点をつくることができます。

 

 

正方形4枚では、90×4=360°となり、立体の頂点をつくれません。

正五角形からできる多角形は正十二面体の1種類

正五角形は、1つの内角の大きさが108°です。正方形と同じように、3枚なら108×3=324°で頂点をつくることができます。

 

 

正五角形4枚の場合、108×4=432°となり、360°を超えてしまうので、立体の頂点をつくれません。

 

最後に、正五角形より頂点の多い正多角形についても確認しておきましょう。

 

正六角形は1つの内角の大きさが120°です。3枚なら120×3=360°となり、頂点をつくることはできません。正七角形、正八角形、正九角形と形を変えたところで、1つの内角の大きさはどんどん大きくなって、頂点をつくれなくなってしまいます。

 

これで、正多面体が5種類しかないことがわかりましたね。

 

 

松本 亘正
中学受験専門塾ジーニアス 代表

教誓 健司
中学受験専門塾ジーニアス 講師

 

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中学受験専門塾ジーニアス 運営会社代表 

慶應義塾大学在学中に中学受験専門塾ジーニアスを開校し、運営会社の代表に就任。現在は東京・神奈川の6地区に校舎がある。

ジーニアスはハイレベルな少人数制指導塾として、1学年200人強から開成、麻布などの御三家各校、筑波大附属駒場、慶應中等部、早稲田実業、渋谷教育学園渋谷、ラ・サールなど超難関校に例年合格者を多数輩出しており、募集時には毎年満席になる校舎もある。また、家庭教師のトライの映像授業「Try IT」の社会科を担当し、高校受験生からの支持も厚い。

おもな著書に『合格する算数の授業 図形編・数の性質編』『合格する地理の授業 47都道府県編・日本の産業編』(実務教育出版)があり、ほめて伸ばすだけをよしとしない、タイプ別に子どもへの対応方法を変えるなど独自の子育て論にも注目が集まっている。

著者紹介

1988年広島県生まれ。広島学院中学高校へ進学するにあたり、お世話になった塾の先生の影響で算数を好きになる。大学在学中は四谷大塚の学生講師として算数と理科の授業を3年間担当し、その後中学受験専門塾ジーニアスに移籍。ゲーム好きで、ゲームの攻略に関する仕事をしていたことも。

YouTube チャンネル「0時間目のジーニアス」で算数の入試問題解説動画を公開するなど、映像授業でも活躍中。主な著書に『合格する算数の授業 図形編』がある。

著者紹介

連載最新の中学受験問題…合格する算数「図形編」

合格する算数の授業 図形編

合格する算数の授業 図形編

松本 亘正 教誓 健司

実務教育出版

毎年、多数の合格者を輩出する中学受験専門塾ジーニアスの授業を再現!先生とまなぶ君のやりとりを通して、中学入試「算数・図形」の押さえどころが、おもしろいほど身につく。 中高生の勉強や、大人の学び直しにも最適! …

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