灘、開成、麻布…超難関校に挑戦!「円周率」の引っかけ問題

難関中学の受験算数に登場する図形問題はかなり複雑で、挫折してしまう子も少なくありません。しかし、正しいアプローチや手順を整理すれば、どんな図形問題にも立ち向かえる力を養うことができます。ここでは、超難関校の受験に頻出する図形について、効果的な学習法を解説します。※本連載は、中学受験専門塾ジーニアスの松本亘正氏と教誓健司氏の著書『合格する算数の授業 図形編』(実務教育出版)より一部を抜粋・再編集したものです。

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中学受験では、灘、開成、麻布といった超難関校ほど「図形」の単元が入試に多く出る傾向があります。この単元は、「わかる」と「正解する」のギャップが大きくなりやすいため、注意が必要です。難関校合格のために不可欠な単元の学習方法を紹介します。

「円の面積=半径×半径×3.14」の理由は?

円周率の意味がわかれば、円周の長さが「直径×円周率」で求められることはすぐわかります。ここでは円周率を3.14とします。

 

では、円の面積はどうやって求めればよいのでしょう?

 

もちろん、公式を覚えて実際に計算できることも必要ですが、それ以上に、どうしてその公式で面積が求められるかを説明できることが重要なのです。

 

面積は、1辺の長さが1の正方形の面積を1とした時に、その何倍なのかと考えて計算します。とは言え、円には曲線があるので、正方形と比べるのは難しそうに見えますね。そこで、円のままではうまく計算できないので、求めることができる図形になるよう、形を変える必要があります。

 

 

円を小さく切り分けて、長方形にして求める

形の変え方はいろいろとあるのですが、ここでは代表的な2つを紹介します。

 

 

上の図のように形を変えると長方形をつくることができます。円を小さく切り分けたおうぎ形を交互(こうご)に入れていくようなイメージです。

 

こう展開すると、長方形の縦の長さは円の「半径」です。そして、長方形の横の長さは「円周の半分」になっています。なぜ半分かと言うと、交互(こうご)に並べているからです。

 

つまり、「半径×円周の半分」を計算すると、面積を求めることができます。

円を小さく切り分けて、三角形にして求める

もう1つの方法がこちらです。

 

「前の図のことも、まだよくわからない…」という場合には、この説明は飛ばしても大丈夫です。

 

 

上の図のように形を変えると三角形をつくることができます。三角形の底辺が「円周」です。

 

そして、三角形の高さが「半径」になっています。つまり、三角形の面積の公式「底辺×高さ÷2」にあてはめて、「円周×半径÷2」の計算をすると円の面積が求められます。

補助線を用いて、円の中心を正しく見つけよう

ここまでの説明をふまえ、補助線の話に入っていきましょう。

 

次の問題を見てください。

 

【例題】

図のように直径が12㎝の半円があります。色のついた部分の面積を求めなさい(※円周率は3.14とする)。


 

これは、毎年のように中学入試で出題される問題です。円やおうぎ形のことを正しく理解できているか確認できる良問と言えます。2020年にはフェリス女学院でも同じような問題が出題されていました。

 

このような問題形式で出題されるのがもっとも間違いやすいのです。

 

少し計算が大変かもしれませんが、続きを読む前に自分で一度答えを出してみてください。ここまで学んだ内容で解くことができる問題です。

 

まずは、よくある間違いを紹介してみましょう。

 

 

どこが間違っているかわかりましたか?

 

全体の面積から白い部分の面積を引くという発想で解くことはできます。半円の面積が56.52㎠というのは正しいのですが、白い部分の面積は18.84㎠ではありません。

 

白い部分が「半径12㎝、中心角15°のおうぎ形」というとらえ方が間違っているのです。

 

それでは、問題の白い部分に注目してみましょう。

 

 

この図形はおうぎ形ではありません。なぜなら、この図形の弧(こ)BCの中心はAではないからです。

円の中心の点を求めて、三角定規を見つける

では、弧(こ)BCの中心はどこでしょう。それは全体の半円の中心と同じ場所です。つまり、辺ABの真ん中の点(O)です。その中心とCを結ぶ線を引くと次のようになります。

 

このように、白い部分は三角形とおうぎ形を組み合わせた図形だったのです。半径が等しいことから、三角形OACはただの三角形ではなく二等辺三角形であることもわかります。角度や長さを書き込んでおきましょう。

 

 

150°の外角が30°なので、正三角形の半分の形が隠れています。OA=OC=6cmより、OAを底辺とした時の高さは、30°・60°・90°の直角三角形の長さの比が2:1であることから、3cmになります。

 

これで、中心角が150°のおうぎ形OACから三角形OACの面積を引いて、答えを求めることができます。

 

 

 

おうぎ形OACの面積は、6×6×3.14×150/360=47.1㎠

三角形OACの面積は6×3÷2=9㎠

求める面積は、47.1-9=38.1㎠

円の学習総まとめ

円周率とは、円周の長さが直径の長さの何倍かを表したもので、3.14159265358979…とどこまでも続く小数になる。円周率の小数第三位を四捨五入すると3.14になる

 

円周の長さは、直径×円周率(3.14)

 

円の面積は、半径×半径×円周率(3.14)。もしくは、円周の長さ×半径÷2

 

円やおうぎ形の問題では、中心と結ぶように補助線を引くことが大切

 

 

松本 亘正
中学受験専門塾ジーニアス 代表

教誓 健司
中学受験専門塾ジーニアス 講師

 

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中学受験専門塾ジーニアス 運営会社代表 

慶應義塾大学在学中に中学受験専門塾ジーニアスを開校し、運営会社の代表に就任。現在は東京・神奈川の6地区に校舎がある。

ジーニアスはハイレベルな少人数制指導塾として、1学年200人強から開成、麻布などの御三家各校、筑波大附属駒場、慶應中等部、早稲田実業、渋谷教育学園渋谷、ラ・サールなど超難関校に例年合格者を多数輩出しており、募集時には毎年満席になる校舎もある。また、家庭教師のトライの映像授業「Try IT」の社会科を担当し、高校受験生からの支持も厚い。

おもな著書に『合格する算数の授業 図形編・数の性質編』『合格する地理の授業 47都道府県編・日本の産業編』(実務教育出版)があり、ほめて伸ばすだけをよしとしない、タイプ別に子どもへの対応方法を変えるなど独自の子育て論にも注目が集まっている。

著者紹介

1988年広島県生まれ。広島学院中学高校へ進学するにあたり、お世話になった塾の先生の影響で算数を好きになる。大学在学中は四谷大塚の学生講師として算数と理科の授業を3年間担当し、その後中学受験専門塾ジーニアスに移籍。ゲーム好きで、ゲームの攻略に関する仕事をしていたことも。

YouTube チャンネル「0時間目のジーニアス」で算数の入試問題解説動画を公開するなど、映像授業でも活躍中。主な著書に『合格する算数の授業 図形編』がある。

著者紹介

連載最新の中学受験問題…合格する算数「図形編」

合格する算数の授業 図形編

合格する算数の授業 図形編

松本 亘正 教誓 健司

実務教育出版

毎年、多数の合格者を輩出する中学受験専門塾ジーニアスの授業を再現!先生とまなぶ君のやりとりを通して、中学入試「算数・図形」の押さえどころが、おもしろいほど身につく。 中高生の勉強や、大人の学び直しにも最適! …

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