①アメリカが投票したときに議案が成立するような条件を満たす投票順の数について

安保理の議決は、15ヵ国のうち9ヵ国以上が賛成した場合に可決・成立となる。このため、アメリカの投票順は、9番目以降である必要がある。また、他の4つの常任理事国（イギリス、フランス、ロシア、中国）がアメリカの前に投票を終えていることも必要となる。

アメリカが9番目に投票した段階で議案が成立するような投票順がいくつあるか、考えてみよう。

それには、アメリカの前に投票する8ヵ国の中に、他の4つの常任理事国がすべて含まれていることが必要だ。これは、言い換えると、アメリカの前に投票する8ヵ国の中に、非常任理事国が4ヵ国含まれているということでもある。非常任理事国10ヵ国の中から、アメリカの前に投票する4ヵ国を選ぶ。この組み合わせは、全部で210通りとなる。

アメリカの前に投票する8ヵ国の投票順は8の階乗（8!）＝40,320通り。アメリカの後に投票する6ヵ国の投票順は6の階乗（6!）＝720通り。そこで、この3つの数を掛け算して、6,096,384,000通りとなる。

同様に、アメリカが10番目に投票して議案が成立するような投票順は、252通り、362,880通り、120通り、の3つの数を掛け算して、10,973,491,200通り。

11番目に投票して議案が成立するような投票順は、210通り、3,628,800通り、24通り、の3つの数を掛け算して、18,289,152,000通り。

12番目に投票して議案が成立するような投票順は、120通り、39,916,800通り、6通り、の3つの数を掛け算して、28,740,096,000通り。

13番目に投票して議案が成立するような投票順は、45通り、479,001,600通り、2通り、の3つの数を掛け算して、43,110,144,000通り。

14番目に投票して議案が成立するような投票順は、10通り、6,227,020,800通り、1通り、の3つの数を掛け算して、62,270,208,000通り。

15番目に投票して議案が成立するような投票順は、1通り、87,178,291,200通り、1通り、の3つの数を掛け算して、87,178,291,200通り。

こうして算出された、9番目から15番目の投票順の数を、すべて足し算すると、256,657,766,400通りとなる。

②非常任理事国のパワーを直接計算で求める場合について

本記事では、非常任理事国のパワーを、全体（1）から常任理事国のパワーの合計を引き算して求めている。これを、直接求めてみよう。

非常任理事国のうちの1ヵ国について考える。この国が投票した段階で議案が成立するような投票順は、いくつあるだろうか。

それには、この国の前に、5つの常任理事国がすべて投票を終えていて、かつ、この国が9番目の投票をすることが必要だ。これは、言い換えると、この国の前に投票する8ヵ国の中に、非常任理事国が3ヵ国含まれているということでもある。

この国を除いた残りの非常任理事国9ヵ国の中から、この国の前に投票する3ヵ国を選ぶ。この組み合わせは、全部で84通りとなる。この国の前に投票する8ヵ国の投票順は8の階乗（8!）＝40,320通り。この国の後に投票する6ヵ国の投票順は6の階乗（6!）＝720通り。そこで、この3つの数を掛け算して、2,438,553,600通りとなる。

これを、15ヵ国が投票する投票順の数（15の階乗（15!）＝1,307,674,368,000通り）で割り算する。その結果、この国のパワーは、2,438,553,600/1,307,674,368,000となる。これは、約分すると、4/2,145となり、0.001865という値になる。